拉格朗日定理成立的充分必要條件

第一，數論中的拉格朗日定理。

1、拉格朗日四平方和定理，即費馬多邊形數定理特例。

每個自然數均可表示成4個平方數之和。3個平方數之和不能表示形式。 若在一個正整數的因數分解式中，沒有一個數有形式如4k加3的質數次方，該正整數可以表示成兩個平方數之和。

2、設p是一個素數，fx是整係數多項式，模p的次數為n，則同餘方程fx恆等於0，即modp至多有n個互不相同的解。

第二，流體力學中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，若初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以後的任何時刻中這部分流體皆為有渦。